De cómo calcular los números

Cuando en la década de los 70 irrumpieron en el mercado las calculadoras electrónicas de bolsillo, una nueva época dio comienzo, las tablas de logaritmos cayeron en desuso y las reglas de cálculo, herramienta habitual en los gremios de la ingeniería y navegación, se convirtieron en un chismes obsoletos.

Los logaritmos y la regla de cálculo siempre han estado íntimamente ligados y no son ningún descubrimiento reciente, aunque en nuestra actual vida cotidiana estamos rodeados por todas partes de sistemas informáticos que lo calculan prácticamente todo y olvidamos que gran parte de esta tecnología no tiene más allá de treinta años.

Ante la escasez de instrumentos que aliviasen el trámite, tradicionalmente nos hemos servido del uso de las manos para calcular y realizar operaciones simples.

Incluso para los griegos la aritmética no contemplaba el cálculo, sino que trataba sobre las propiedades de los números. El cálculo era cosa manual y se reservaba para los artesanos, de condición social equivalente a la de esclavos (cuando no lo eran directamente).

Pero aún en esa situación era preciso construir naves, levantar edificios y tasar de alguna manera los objetos de comercio, por lo que la necesidad de aliviar este extremo dio origen al ábaco.

El funcionamiento del ábaco es en extremo sencillo. Emplea señales que, tras determinada manipulación, realizan operaciones. Sin embargo, en este proceso no se da un desarrollo formal de algoritmo de cálculo, puesto que hasta el siglo XIII los sistemas de numeración empleados no eran posicionales e ignoraban el valor operacional del cero (o directamente su existencia).

Los números poseen su propio lenguaje y, al igual que ocurre con el que empleamos para comunicarnos, tiene su alfabeto. El que usamos comúnmente emplea como alfabeto diez cifras, del 0 al 9.

Este lenguaje se llama “sistema decimal de numeración”, que en su forma actual surgió en la India en el siglo VI a. de C y llegó a Europa de la mano de los árabes en la Edad Media. Las razones por las que dicho sistema ha sido universalmente aceptado no son, ni mucho menos, de índole matemática. LLos diez dedos de la mano han constituido el aparato primario de cálculo, empleado por el hombre desde los tiempos prehistóricos, porque valiéndose de los dedos es fácil contar hasta diez.

Al consumir todas las posibilidades, es decir: al llegar a diez, la lógica lleva a considerar al “10” como una nueva unidad mayor. Asimismo, diez decenas formarán una unidad de tercer orden, y así sucesivamente.

Por lo tanto, precisamente el cálculo basado en los dedos de la mano humana ha dado origen al sistema que ahora nos parece completamente natural, pero en distintos periodos muchas civilizaciones no lo era tanto.

Por ejemplo, tuvo bastante difusión el sistema duodecimal, que también está ligado al empleo de los dedos de la mano, pero valiéndose de las distintas falanges, con el que se puede contar hasta 12. Los vestigios de este sistema han pervivido hasta nuestros días y, a resultas del mismo, muchos objetos aún se cuentan por docenas y no por decenas, si bien han caído en desuso expresiones tales como “gruesa” (doce docenas) o “masa” (una docena de gruesas).









En la antigua Babilonia se empleaba un complicado sistema, denominado sexagesimal, que aún sigue usándose en lo cotidiano, pues la hora se divide en sesenta minutos y el minuto en sesenta segundos.

A través de los relatos del explorador Stanley se sabe que algunas tribus africanas empleaban el sistema quinario. Los celtas, aztecas y mayas se valían del sistema vigesimal, cuyos restos persisten, por ejemplo, en como nombran los franceses -y los vascos- al número ochenta (cuatro veces veinte).

Los mayas emplean un sistema vigesimal posicional completo, incluyendo un símbolo para el cero. Los nombres de las sucesivas unidades eran: kin, ninal, tun, katun, bakitun, piktum, calabtum, kinchiltun, y alautun.

Los ejemplos anteriores vienen a demostrar que no siempre ha sido el sistema decimal el más aceptado. La rutina con la que utilizamos el sistema de numeración base diez, que hemos aprendido de forma intuitiva, ocasiona que muchas veces carezcamos de la consciencia de los números que empleamos.

Así que, al examinar un número cualquiera, por ejemplo el 464, hemos de tener en cuenta que, realmente, significa que el número bajo consideración contiene 4 unidades, 6 decenas y 4 centenas. Esto significa que que 464 es la abreviatura de:

464 = 4 x 10² + 6 x 10¹ + 4 x 10⁰

que llamaremos expresión polinómica del 464.

El número 10 es la base del sistema y nos proporciona la idea del número de símbolos (dígitos) distintos que se utilizan para representar la cantidad, pero un examen más detallado del sistema nos revela que el concepto de posición es importante, pues el valor de las cifras dependen de la posición que ocupan. Así el dígito 6 no posee el mismo valor en las siguientes representaciones:
464 644
En la primera, 6 representa seis decenas y en la segunda seis centenas.

Los sistemas en los que la posición de los dígitos determinan el valor de los números representados, se llaman sistemas posicionales, con el objeto de diferenciarlos de aquéllos en los que el valor del dígito no depende del lugar que ocupa (por ejemplo, la numeración romana). La ventaja de los números posicionales reside en que es posible representar grandes cantidades con, relativamente, pocos dígitos, y de que pueden emplearse en operaciones aritméticas con mayor facilidad.

Generalizando, un número N, en un sistema de base b, puede ser expresado en forma polinómica:


N= a _n b ⁿ + a _n-1 b ^n-1 + ... + a _i b ⁱ + ... + a _o b ^o + a _-1 b ^-1 + ... + a · p · b ^-p

donde n+1 es el número de dígitos enteros y p el número de dígitos fraccionarios.

La introducción del sistema decimal a lo largo de los siglos XV y XVI llevó a apartarse progresivamente de los postulados platónicos -realizados viente siglos antes- y al intento de conseguir instrumentos mecánicos con os que poder realizar cálculos avanzados. Así vio la luz el compás proporcional de Galileo, destinado a aplicaciones militares y de ingeniería.

En 1614 Juan Napier publicó su primer trabajo -Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio-, una tabla logarítmica de senos trigonométricos, describiendo pormenorizadamente la forma de emplearla, popularizando sus tablillas, con las que (superponiendo unas sobre otras) era posible realizar cálculos del producto de números.

El empleo de los logaritmos neperianos permitió realizar en adelante con mayor facilidad operaciones que hasta aquél momento representaban un gran engorro, tales como raíces de índices no enteros, potencias, etc.

En poco tiempo la mecanización de operaciones pasó a ser un hecho, cuando en 1621 Oughtred introdujo cambios en las tablillas neperianas. Las multiplicaciones y divisiones se realizaban sumando y restando las longitudes de los logaritmos marcados sobre una línea recta. Oughtred se valía de dos líneas que se deslizaban la una sobre la otra y que no precisaban separadores. En eso constiía la primera regla de cálculo, ampliamente utilizada hasta casi nuestros días, con distintas variantes para otras tantas aplicaciones.

DEL ÁBACO AL ORDEÑADOR


4000 a. de C: Sistema sexagesimal de numeración sumerio.

3000 a. de C: Los egipcios agrupan números por decenas y los representan mediante jeroglíficos.

2500 a. de C: Los chinos inventan el ábaco, considerado como la primera máquina que se utiliza para facilitar las operaciones de cálculo.

2000 a. de C: Sistema decimal no posicional babilonio.

2000 a. de C: Los egipcios emplean un torno de madera para realizar cálculos.

500 a. de C: Los romanos utilizan ábacos con piedrecillas, originando el término cálculo.

46 a. de C: Herón de Alejandría construye un autómata, empleando elementos hidráulicos.

300: En Alejandría se emplea el sistema de numeración alejandrino; toma como base las 24 letras del alfabeto, más otras tres el alfabeto antiguo. Los babilonios introducen un símbolo para el cero en el sistema sexagesimal.

400 : Platón publica su estudio sobre el análisis de la función del piloto de un navío.


850: Los árabes adoptan el sistema decimal posicional, copiado del que los hindúes desarrollaron en el S II de nuestra era.

851: Al Karismi escribe Algebr wa'l mukabala, traducido al latín en 1120 por Adelardo de Bath. De aquél se deriva el término álgebra.

1202: Fibonacci, expone en Liber Abaci el sistema decimal y como utilizarlo.

1299: La Iglesia publica un edicto que prohíbe la adopción del sistema decimal y el empleo de símbolos infieles a los mercaderes florentinos.

1400: Lo que se podría denominar comunidad científica europea, acepta la notación en el sistema decimal.

1496 : Se instala el reloj en la Plaza de San Marcos de Venecia. Las campanadas horarias son acompañadas por el desfile de figuras mecánicas.

1585: Simon Stevin propone en De thiende una notación para las fracciones decimales.



1614 : Juan Napier publica Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.


1617: Juan Napier publica Rabdologia. En él presenta un dispositivo para efectuar multiplicaciones. En un primer momento empleaba reglas y, más tarde, rodillos.

1621: William Oughtred realiza una modificación al artilugio de Naiper, usando dos líneas de números que se desplazan superpuestas, para efectuar cálculos logarítmicos.


1623 : Wilhelm Schickard, diseña una máquina capaz de realizar las cuatro operaciones. El modelo fue destruido en un incendio y nunca llegaría a fabricarse.

1632: Se populariza el empleo de la regla de cálculo de Oughtred.

1642: Blaise Pascal construye la "Machina Arithmetica", comúnmente conocida como Pascalina, que podía sumar y restar números mediante engranajes.



1662: Seth Partridge perfecciona la regla de cálculo.

1666: Samuel Morland construye una máquina capaz de multiplicar, basada en las tablas de logaritmos de Napier.









1671: Gottfried Leibniz construye una calculadora mecánica que realizaba las cuatro operaciones básicas.

1678: En Journal des Scavans se publica una artículo describiendo una máquina que podía efectuar, además de las cuatro reglas, raíces cuadradas y cúbicas.

1714: En Inglaterra se registra la patente de un dispositivo similar a la de una máquina de escribir.

1728: Falcon pone en práctica la idea del telar automático y se aplica por vez primera en una instalación de Lyon. Esta idea sería perfeccionada algunos años más tarde por Jacquard.

1750: Vaucanson utiliza una cinta perforada para almacenar datos.




1753: En Scots Magazine se describe un sistema de telegrafía eléctrica.

1767: Priestley establece las leyes básicas de la electrostática.



1770: Pierre y Henri Louis Jacquet Droz construyen el escribiente, autómata cuya cabeza acompaña a la mano en la escritura, y en la que los ojos se mueven al compás de la pluma.

1774: Lasage inventa un teléfono primitivo. Se presenta por primera vez en Ginebra.

1787: Betancourt realiza experimentos con la electricidad estática para transmitir mensajes.



1793: Claude Chappe recibe el primer título mundial de ingeniero telegrafista, como reconocimiento a su trabajo de 5000 kilómetros de estaciones repetidoras con signos gráficos. Recibió el nombre de telégrafo.



1796: Volta construye la pila que lleva su nombre.



1798: Salvá, utilizando los trabajos de Betancourt, envía mensajes telegráficos entre Madrid y Aranjuez.
1800: Se inicia en Boston el funcionamiento del telégrafo óptico.
1808: Entra en funcionamiento la red inglesa de telegrafía óptica.

1811: Ned Ludd inicia las revueltas contra la implantación de telares automáticos.








1812: Jacquard vende en Francia 11.000 telares automáticos y 1.000 mas al el resto de naciones europeas.



1820 : Arago describe el funcionamiento del electroimán.



1822 : Babbage elabora el diseño de una máquina diferencial que produzca tablas logarítmicas de seis dígitos, que nunca llega a terminar porque inicia el proyecto de la máquina analítica, capaz de controlar automáticamente su funcionamiento. Tampoco consigue terminarla, porque su diseño precisa de una tecnología superior a la disponible en aquella época.

Muchos consideran a Babbage el padre de la computación digital. Augusta Ada (hija del poeta Lord Byron), realiza grandes contribuciones al trabajo de Babbage. Elabora importantes métodos de programación, entre los que se incluyen las subrutinas (saltos dentro del programa), iteraciones (repetición de rutinas) y el salto condicional (permite que el programa tome decisiones automáticas). Además, cambia del sistema decimal al binario para procesar las tarjetas perforadas.




1824: Berzelius descubre el silicio.



1827: Steinheil demuestra la posibilidad de transmitir electricidad a distancia con un solo hilo.

1828: Becquerel desarrolla un procedimiento para alargar la vida de las pilas eléctricas.


1829: Se patenta en Estados Unidos el tipógrafo.

1831: Joseph Henry crea el primer telégrafo electromagnético.



1831: Faraday descubre el electromagnetismo.


1832: Schilling, idea la forma de utilizar las desviaciones producidas por la electricidad en los imanes, como señales telegráficas.

1833: Xavier Progrin desarrolla la primera máquina de escribir con barras de tipos separadas para cada letra. Gauss y Weber construyen el primer telégrafo electromagnético con aguja.



1834: Samuel Morse obtiene del Gobierno norteamericano 30.000 dólares para construir un sistema telegráfico que unirá Washington y Baltimore.




1836: Daniel modifica la pila de Becquerel, que formará parte de los primeros sistemas de telegrafía eléctrica.
1837: Samuel Morse presenta el nuevo telégrafo. Se sustituye el desplazamiento de agujas por la escritura de puntos y rayas en una tira de papel.

1837: En Francia se publica una ley por la que las comunicaciones pasan a ser monopolio del estado.

1837: Se inventa el telégrafo eléctrico.

1839: Entra en funcionamiento en Landres el primer telégrafo eléctrico inglés. Cooke y Wheatstone fundan la primera compañía telegráfica inglesa: Electric Telegraph Company.

1843: Bunsen propone un nuevo modelo de pila eléctrica.



1844: Morse envía el primer mensaje telegráfico entre Washington y Baltimore.

1847: Boole publica El análisis matemático de pensamiento, planteando una álgebra nueva.

1854: Boole publica Las leyes del pensamiento, método con el que resolver problemas de lógica, enel que únicamente se utilizan los valores binarios 1 y 0, y tres operadores lógicos: Y, O y NO.

1890: Herman Hollerith utiliza tarjetas perforadoras para procesar los datos del censo de EE.UU, basándose en la lógica de Boole y aplicando electricidad. Hollerith fundará posteriormente la Tabulating Machine Company, antecesora de la IBM.



1906: Lee De Forest inventa el tubo de vacío e inicia la era electrónica.



1919: W. H. Eccles y F. W. Jordan crean el flip- flop, circuito binario capaz de reconocer y tomar uno de los estados estables (0, 1).



1930: Vannevar Bush construye el primer computador analógico, con elementos electromecánicos.



1936 – 1941: Konrad Suze construye dos máquinas electromecánicas de cálculo, muy parecidas a lo que sería la primera computadora.



1940: George Stibitz y S. B. Williams, construyen una calculadora de secuencia automática empleando ordinarios interruptores de sistemas telefónicos de la época.



1941: Konrad Suze presenta la Z3, una computadora electromagnética que puede ser programada mediante cintas perforadas. Shannon demuestra que la programación de las computadoras es un problema de lógica y no de aritmética, reconociendo la importancia del álgebra de Boole para estos menesteres.

1943: Turing proyecta teóricamente un cerebro artificial. Durante la II Guerra Mundial participa en el desarrollo de la computadora COLOSSUS. En 1947 publica Maquinaria inteligente, donde se trata el tema de la inteligencia artificial.



1944: Basándose en la máquina analítica de Babbage, Howard Aiken inicia el diseño y construcción de la primera computadora, que recibe el nombre de MARK I.



1947: En la Universidad de Pennsylvania Eckert y Mauchly construyen la primera computadora electrónica (ENIAC).


1950: Von Neumann, desarrolla la EDSAC, incorporándole gran cantidad de ideas sobre almacenamiento de programas en la memoria.



1951: Con la UNIVAC se da principio al concepto de generaciones de computadoras.

1960: Se aplica el transistor al diseñar los circuitos, con lo que los computadores salen del estado experimental y extienden su uso a las grandes empresas y gobiernos.

1971: El microprocesador permite incluir en una pastilla de silicio los componentes que constituyen el núcleo de la computadora: la unidad aritmética lógica, los registros, los controles de direcciones, etc. Intel diseño y fabricó por vez primera uno de tales dispositivos.

1975: La aplicación masiva de microprocesadores permitió la aparición de los Personal Computers (PC), dirigidas al público. El concepto modular fue introducido por la Altair, basado en una arquitectura abierta, mediante ranuras o slots para conectar accesorios y periféricos de otras marcas. De hecho, el éxito de esta máquina incentivó el desarrollo de los sistema operativos y programas de usuarios estandarizados, para evitar la necesidad de que el usuario programase su propio software.







Por esa época también nos encontramos con los diseños de:

Atari:




Apple:



Commodore:




Y la revolución del estándar: el PC, de IBM.





TELLAGORRI
(Trabajo realizado por un excomentarista cuyo alias era IBAIA).






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